都选网
当前位置:都选网 > 综合百科 > 正文

有理数是“有道理”的数吗_有理数是什么意思

有理数是“有道理”的数吗

有理数是“有道理”的数吗?让人不好理解问题

有理数的英文是“rational number”,“rational”最常用的意思是:理性的,合乎道理的。但在《RANDOM HOUSE》(兰登辞典)中,“rational”还有另外的意思:比,“rational number”是指“可以精确地表示为两个整数之比的数”。我们教材中也有类似表示:整数和分数统称有理数。分数当然是两个整数的比,整数同样也可以看成两个没有余数的整数之比。

关于有理数这一叫法历史上还有一段典故: 有理数这一概念最早源自西方《几何原本》,明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》,前6卷时的底本是拉丁文,他们将这个词的拉丁文( 即“logos”) 译为“理”,这个“理”在文言文中的意思是“比值”。

明末时期日本落后于我们,常常派使者来我国,这个有理数的概念也被他们拿走了,但是当时的日本学者对我国的文言文理解不够,直接将在文言文中表示“比值”的“理”直译成了“道理”的“理”,没文化真坑人呀!

直到清朝中期我国对有理数的翻译并没有错,可是到了清末,那时候中国落后于日本,于是清朝派留学生去日本,居然又将此名词重新传回中国,并且一直沿用至今。以至于现在中日两国都用“有理数”和“无理数”这一错误的说法。所以说现在对“有理数”名称的理解的疑惑是历史原因造成的。

数学家项武义曾倡议将有理数改名为“比数”或者“可比数”,但无奈这一改名工作量实在太大,所以一直没有成行。如果数学中能说明这一名称的背景,那么学生就不会对这一名称产生疑惑了。

反思一下,如果我不了解这个背景,是不是可以这样回答学生提问:“这个问题我也不清楚,让我回去查查书,或者问问别人,不过我想,把整数和分数统称为有理数一定是有原因的,你的问题太好了,你忠实地去追求了真理,世界上不存在‘没有什么为什么的事物’,凡事都值得去问为什么。”

此外,学生学到了到了实数部分还会有疑问:为什么有限小数和无限循环小数是也有理数? 有理数的定义中没有提“有限小数和无限循环小数”,教材中一直给出的解释就是“有限小数和无限循环小数”可以化为分数,那为什么呢?

依然还是有理数。

进一步还可以得到: 任何一个有理数一定可以表示成有限小数或者无限循环小数,在这里只需要讨论正有理数的情形即可。

其实我认为,随着计算机技术的发展,小数的精确度的计算越来越高,越来越方便,人们从小数的角度出发,通过比较小数的循环情况发现了规律,从而做出了无理数与有理数的区分。

有理数的产生,是数系扩充的必然结果,是人类文明发展所导致的,具有数系扩充的一致性。是整个实数范围的数系发展过程的产物,是在感知数与计数、自然数、分数、小数以及到有理数的产生中逐步延伸。

《道德经》有云“有无相生”,有理数的出现必定和无理数的出现是相关联的,是同时被命名的。但在有理数被命名之前,并不代表后期被归类为有理数的数不存在,例如:“1、2、3.22”等分数、整数,它们本来就存在。但是在未被命名为有理数的时候,它们就不是有理数,正所谓“无名,天地之始;有名,万物之母”也。

远古时期的人类在生活中遇到了许多无法解决的困难:原始人为了生存,他们在长期的狩猎和食物分配中逐渐出现了“有”和“无”的概念,以后逐渐形成“多”与“少”的概念,然后在对比中出现了“1”与“多”的区别。随着时间的推移慢慢地产生了数的概念。当时人们的认知里,超过3的物体都是“许多”。

我国伟大的哲学家在阐述“宇宙生成论”时就说:“道生一,一生二,二生三,三生万物”,大致就是这个意思。而“4”以及“5、6、7……”等每一个数的产生,都是一个历史性的时刻。在存储、交换中,需要数数和比较,则需要记录数量,此时则产生计数,计数的过程经历了手指计数——实物计数——刻痕计数(初步符号计数)——符号计数,是一个漫长的过程。在自然数的符号表示方面,古罗马的数字相当特别,现在许多老式挂钟上还常常使用它们。罗马数字的符号一共只有7个,分别是:I(代表1)、V(代表5)、X(代表10)、L(代表50)、C代表100)、D(代表500)、M(代表1,000)。这7个符号位置上不论怎样变化,它所代表的数字都是不变的。

中国人认可0要比西方早上千年。“零”的概念出现的比较早(中西方都如此),最初,人们在记数和计算时,由于需要记录和计算的东西越来越多,逐渐产生了位值制记数法。这种记数法的产生,在表示“没有”和“空位”时就产生了初步的“零”的概念。

值得提出的是,中文里的“零”最初并不表示“空无所有”,只表示“零碎”、“不多”的意思。随着阿拉数字的引进。“零”字与“0”恰好对应,因此,“零”也就具有了“0”的含义。

以上所说的数都是自然而然产生的数,被称为“自然数”(除了0,0被视为自然数是在非常晚的,我国在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》中才规定自然数包括0。)即一个物体也没有,用0表示,0也是自然数。此时此刻的数值指自然数。

据数学史书记载,三千多年前埃及纸草书中已经记载了关于分数的问题。而我国在2000多年前,也有了分数,只是那个时候分数的表现形式与现在的不一样而已。值得一提的是,当时的印度也出现了和我国相似的分数表示法。引进分数,这是数的概念的第一次扩展。

开始,人类只能用整数表示数量,继而在所表示的数量的末尾附注“有余”、“有奇”或“强”、“弱”等字样,以表示该数量与实际量之间的差异,当需要用数来比较精确地表明这种差异的时候,就逐渐形成了两种表示方法:一种是用分数来表示不足整数的剩余部分(分数小数同时产生,相辅相成,但又相互独立);另一种是发展度量衡系统,采用更小的度量衡单位来表示有关的量,如刘徽在注解《九章算术》时,长度的记法采用的单位是:丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽,“忽”是最小的单位,在计算中他把“忽”作为单位,以下那些没有明确单位的数就是小数,刘徽称作“徽数”。

刘徽是目前记载中最早使用小数的人,不管小数怎样进行发展,都没有脱离十进制的规则,而且逐渐进行完善,直到十九世纪末期,才形成现在这样用小数点进行表述小数的计数法。【备注:在无理数出现前,小数都是可以转化为分数的形式,无限循环小数也可以转化为分数】

到目前为止,数系的扩充到了整数和分数,区分的标准就是是否被分,能够完整且未被分割的数就是整数,被分开的数根据应用的不同场景分为分数和小数(此时的小数可统一为分数)。

在整个历史长河中分数也起到了非常重要的作用,开始人们只使用简单的分数,如一半,一半的一半等,后来才逐渐出现了三分之一,三分之二等简单的分数,经过漫长的历史演变,直到阿拉伯人发明了分数线后,逐渐形成今天分数的表示法。

负数的产生和“0”的产生一样,在西方人的眼里一度被认为是一个魔鬼数字,与当时的教义理念完全不相符,在我们的实际生活中也无法直观地感触到,所以让人一度无法接受。但是它的出现却和我们的生活实践相契合。

一方面,在我们的生活中经常遇到表述一些具有相反意义的量,如收入与支出、盈利与亏损、上升与下降等。

另一方面,在数的运算中,经常会遇到例如“3 – 4 =?”这样的难题,这样就出现了现有的数(自然数、分数、小数)不够用的矛盾。于是,就产生了负数。当负数的概念产生的那一刻,也就有了正数的概念。正数与负数形成了具有相反意义的两个数。

数的扩充到上述为止,好像已经完美了,自然界的一切场景和现象都可以用这些数进行公度,但数学史上的一大危机的出现,改变了人们的看法。等上了高中,就会有专门的符号表示这些数的范围,有兴趣的同学们可以了解一下。常用的有:Z表示整数范围,Q表示有理数范围,R表示实数(有理数与无理数的合称)范围。

记住!世界上不存在‘没有什么为什么的事物’,凡事都值得去问为什么。

有理数是“有道理”的数吗

“有理数”这种叫法是一个美丽的错误?

数学上,可以表达为两个整数比的数(a/b, b≠0)被定义为有理数,例如3/8,0.75(可被表达为3/4),与此对应的是无理数

所有有理数的集合可以用下面的公式表示:

有理数的集合

(以上概念和公式来自于维基百科)

从上面的公式我们可以很明显的看出“有理数”其实更应该叫做“

希腊语

λογος

意思是“成比例的数”

英语

取词根

全称rational number

意思是“可比数”

中文

λογος

古汉语中

“理”=“比值”

中国古人对于有理数的翻译并没有不恰当的地方,这一概念最早被引入中国的时间是明代,这个概念的源头是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》,当时传入中国的也就是这一本书。

《几何原本》

这本书传入中国以后,是由明末数学家徐光启和传教士利玛窦共同翻译的,此书前六卷为拉丁文,

小编在上面只放了一张数学家徐光启的单人证件照,为了表达两国学者的友好情谊和两国之间的友好历史源远流长,下面附赠一张二人合照。

那么问题来了,究竟是从什么地方开始出现了偏差的呢?

这就是一个比较漫长的故事了,待我细细讲来,首先从前面的历史故事中我们知道:中国关于此类数学文献的资源都是来自于欧洲的,并且古人的翻译水平和理解问题的精确度都是很值得夸赞的,所以这一段历史可以说是圆满的。

在日本的情况就不会这么乐观了。明治维新之前,日本关于欧洲数学的论著研究,基本上都是采用中国译本,也就是文言文直译过去。

随着时间的流逝,这个错误一直延续下来,直到清末时期,中国派留学生到日本学习,这个错误的名词就被引入了中国。直到今天,两国都约定俗成的沿用“有理数”这种叫法。

虽然这只是一个简单的故事,但是我们也可以看得出,是由于日本学者对于中国古代文言文的错误理解,才导致了这样不知道该哭还是该笑的后果。

所以,亲爱的朋友们,想要成为一个优秀的数学家,了解更多的国内外数学知识,学好外语也是非常重要的。不然就有可能跟日本学者一样出现类似的错误,害人终害己啊。

虽然这是个玩笑话,但是考虑到将来有可能出现在的各种情况,我们还是要重视孩子全方面发展的必要性。

更多精彩数学故事还在后面,敬请期待!

“阅读原文”参与“专项能力测评大挑战”

相关文章